Vés al contingut

Camp de Jacobi

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Si un insecte es col·loca sobre una superfície i camina contínuament "endavant", per definició traçarà una geodèsica.

En la geometria riemanniana, un camp de Jacobi és un camp vectorial al llarg d'una geodèsica en una varietat riemanniana que descriu la diferència entre la geodèsica i una geodèsica "infinitesimament propera". En altres paraules, els camps de Jacobi al llarg d'una geodèsica formen l'espai tangent a la geodèsica a l'espai de totes les geodèsiques. Reben el nom de Carl Jacobi.[1]

Definicions i propietats:[2]

Els camps de Jacobi es poden obtenir de la següent manera: Preneu una família de geodèsics d'un paràmetre llis amb , doncs [3]

Camp vectorial al llarg d'una geodèsica..

és un camp de Jacobi i descriu el comportament de les geodèsiques en un veïnatge infinitesimal d'una geodèsica determinada .

Un camp vectorial J al llarg d'una geodèsica es diu que és un camp de Jacobi si compleix l'equació de Jacobi:

on D denota la derivada covariant respecte a la connexió Levi-Civita, R el tensor de curvatura de Riemann, el camp vectorial tangent, i t és el paràmetre de la geodèsica. En una varietat Riemanniana completa, per a qualsevol camp de Jacobi hi ha una família de geodèsics descrivint el camp (com en el paràgraf anterior).[4]

L'equació de Jacobi és una equació diferencial ordinària lineal de segon ordre; en particular, els valors de i en un moment de determinar de manera única el camp de Jacobi. A més, el conjunt de camps de Jacobi al llarg d'una geodèsica donada forma un espai vectorial real de dimensió el doble de la dimensió de la varietat.

Com a exemples trivials de camps de Jacobi es poden considerar i . Aquests corresponen respectivament a les següents famílies de reparametritzacions: i .

Qualsevol camp de Jacobi es pot representar d'una manera única com una suma , on és una combinació lineal de camps de Jacobi i trivials és ortogonal a , per a tot . El camp llavors correspon a la mateixa variació de geodèsica que , només amb parametritzacions modificades.

Referències

[modifica]
  1. «Jacobi Fields and Volumes | Mathematics for Physics» (en anglès). https://www.mathphysicsbook.com.+[Consulta: 20 novembre 2022].
  2. «differential geometry - Confusing definition of Jacobi field» (en anglès). https://math.stackexchange.com.+[Consulta: 20 novembre 2022].
  3. «Jacobi Fields» (en anglès). https://idv.sinica.edu.tw.+[Consulta: 20 novembre 2022].
  4. Sokołowski, Leszek M.; Golda, Zdzisław A. «Jacobi fields, conjugate points and cut points on timelike geodesics in special spacetimes». Acta Physica Polonica B, 46, 4, 2015, pàg. 773. DOI: 10.5506/APhysPolB.46.773. ISSN: 0587-4254.