Mine sisu juurde

Maatriks

Allikas: Vikipeedia
 See artikkel räägib matemaatika mõistest; muude tähenduste kohta vaata artiklit Maatriks (täpsustus).

m × n maatriks: m rida on horisontaalsed ja n veergu on vertikaalsed. Maatriksi iga elementi tähistatakse sageli kahe alaindeksiga tähega. Näiteks a2,1 tähistab teises reas ja esimeses veerus paiknevat elementi

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve (tavaliselt reaalarve või kompleksarve) või mingeid muid etteantud hulka kuuluvaid matemaatilisi objekte, näiteks polünoome, funktsioone, diferentsiaale, vektoreid. Objekte, mida tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks.

Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada: nad moodustavad korpuse või üldisemalt ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Tehted maatriksitega defineeritakse maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu.

Et osutada sellele, kust maatriksi elemendid võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse maatriksiks üle reaalarvude korpuse).

Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.

Maatrikseid uurib maatriksite teooria.

Maatriksi üldistus on hüpermaatriks, millel võib olla rohkem mõõtmeid kui 2.

Definitsioonid ja tähistused

[muuda | muuda lähteteksti]

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve või muid matemaatilisi objekte. Näiteks

on maatriks. Objekte, mida maatriksi kui tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks ehk maatriksi komponentideks.

Maatriksi mõõtmed määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Positiivsete täisarvude järjestatud paari m × n nimetatakse 'maatriksi järguks[1] ehk mõõtmeteks ehk dimensiooniks ehk suuruseks ning arve m ning n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4 × 3 maatriksit. (Mõnikord vaadeldakse ka lõpmatuid maatrikseid, millel on lõpmata palju ridasid ja veerge, ja tühje maatrikseid, mille ridade arv või veergude arv või mõlemad on 0.)

Maatriksit, mille ridade arv võrdub veergude arvuga, nimetatakse ruutmaatriksiks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n.

Maatriksit, mille üks mõõtmetest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt reavektoriteks ja veeruvektoriteks. Näiteks

on 1 × 3 reavektor.

Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j.

Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente tavaliselt väikeste ladina või kreeka tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava alaindeksiga (näiteks a11 või a1,1, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit

esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil: või ka , kui . Kasutusel on ka tähistus, mille puhul maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga kui maatriksit ennast, näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij. Maatriksite eristamiseks teistest objektidest kasutatakse ka näiteks rasvast kirja (A) või kahekordset allakriipsutamist ().

Maatriksi A elementi i-ndas reas ja j-ndas veerus nimetatakse mõnikord maatriksi i,j-elemendiks või (i, j) elemendiks ning tähistatake tavaliselt ai,j või aij, mõnikord A[i,j] või Ai,j. Näiteks järgneva maatriksi A (1, 3) element (a13, a1,3, A[1,3], A1,3) on 5:

.

Mõnikord antakse maatriksi elemendid valemiga: ai,j = f(i, j). Näiteks järgneva maatriksi A elemendid on antud valemiga aij = ij.

Sel juhul antakse maatriks ise mõnikord selle valemiga nurksulgudes või topeltsulgudes, näiteks siinsel juhtumil A = [ij] või A = ((ij)). Kui maatriksi mõõtmed on m × n, siis valem f(i, j) kehtib, kui i = 1, ..., m ja j = 1, ..., n. Seda võib eraldi mainida või anda m × n alakirjas, meie juhtumil A = [ij] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) või A = [ij]3×4.

Maatriksi ridu ja veerge tähistatakse mõnikord tärni abil, näiteks ai,∗ on maatriksi A i-s rida ja a∗,j on maatriksi A j-s veerg.

Maatrikseid, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiteks üle ringi R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatriksiteks üle reaalarvude korpuse või üle reaalarvude.

Tehted maatriksitega

[muuda | muuda lähteteksti]

Liitmine, korrutamine skalaariga ja transponeerimine

[muuda | muuda lähteteksti]
 Pikemalt artiklis Maatriksite liitmine
 Pikemalt artiklis Skalaariga korrutamine
 Pikemalt artiklis Transponeeritud maatriks

Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine.

Tehe Definitsioon Näide
Liitmine Olgu A ja B m × n maatriksid üle ringi R. Siis A ja ''B summa A+B vahel leitakse elementhaaval:
(A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 ≤ im and 1 ≤ jn.

Skalaariga korrutamine Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c:
(cA)i,j = c · Aij.
Transponeerimine m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade äravahetamisel:
(AT)i,j = (A)j,i.

Skalaariga korrutamise omadused ja liitmise omadused (assotsiatiivsus ja kommutatiivsus) ringis kanduvad üle maatriksite liitmisele: näiteks A + B = B + A.

Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.

Korrutamine

[muuda | muuda lähteteksti]
Üldistatud kuju meeldetuletusega, et esimese maatriksi ridade arv peab võrduma teise maatriksi veergude arvuga
 Pikemalt artiklis Maatriksite korrutamine

Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on

iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral.

Näiteks

ja sarnaselt

Maatriksite korrutamine on:

Kui korrutis AB on defineeritud, ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui AB ja BA on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul

ABBA.

st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.

Pöördmaatriks

[muuda | muuda lähteteksti]
 Pikemalt artiklis Pöördmaatriks

Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit B, mis rahuldab tingimust

kus I on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga . Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi A pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi B leidmises.

Rakendused lineaaralgebras

[muuda | muuda lähteteksti]

Maatriksid tekivad loomulikul moel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ja lineaarteisenduste vaatlemisel.

Lineaarvõrrandisüsteemid

[muuda | muuda lähteteksti]
 Pikemalt artiklis Lineaarvõrrandisüsteem

Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi kujul:

.

See süsteem koosneb lineaarvõrrandist tundmatuga. Selle võib esitada järgmise maatriksvõrrandina:

,

kus

+

Maatriks  on lineaarvõrrandisüsteemi koefitsientide maatriks, veeruvektor  on tundmatute vektor ja veeruvektor  on mingi etteantud vektor.

Selleks et süsteemil oleks (vähemalt üks) lahend, on tarvilik ja piisav, et vektor oleks maatriksi lineaarkombinatsioon, ja siis vektor  on koefitsientide vektor vektori lahutuseks maatriksi veergude järgi.

Maatriksite keeles saab lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvuse tingimuse formuleerida Kroneckeri-Capelli teoreemina:

maatriksi astak võrdub maatriksi veergudest ja veerust moodustatud moodustatud maatriksi astakuna.

Tähtis erijuht. Kui võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga ( ehk on ruutmaatriks), siis ühese lahenduvuse tingimus on ekvivalentne maatriksi pööratavusega.

(Märkus. Süsteemi lahenduvusest ei järeldu veel, et maatriks ei ole kõdunud. Näide: .)

Kui maatriks on pöötatav, siis süsteemi lahend on

.

Sellest tuleneb Crameri meetod.

Lineaarkujutused

[muuda | muuda lähteteksti]
 Pikemalt artiklis Lineaarkujutus

Vaatleme lineaarkujutust -mõõtmelisest vektorruumist -mõõtmelisse vektorruumi , millel on järgmine kuju:

.

Maatrikskujul on see

,

kus maatriks on lineaarkujutuse koefitsientide maatriks.

Kui vaadelda lineaarkujutuse mõju vektoritele kujul

,

mis moodustavad vektorruumi baasi, siis on maatriksi -s veerg.

Niisiis kirjeldab maatriks lineaarkujutust täielikult, ja sellepärast nimetatakse seda selle lineaarkujutuse maatriksiks.


  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (Valgus 1982)

Välislingid

[muuda | muuda lähteteksti]
Võrgus leiduvad maatriksite kalkulaatorid