Lompat ke isi

Relasi kekongruenan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam aljabar abstrak, relasi kekongruenan (juga disebut dengan kekongruenan atau kongruen) adalah relasi ekuivalensi pada struktur aljabar (seperti grup, gelanggang, atau ruang vektor) yang sesuai dengan struktur yang bersangkutan; dalam artian hasil operasi aljabar dari elemen yang ekuivalen akan menghasilkan elemen yang ekuivalen.[1] Setiap relasi kekongruenan memiliki kelas-kelas kesetaraan (atau kelas-kelas kekongruenan) yang bersesuaian untuk relasi tersebut.[2]

Kekongruenan memiliki definisi yang bergantung pada tipe struktur aljabar yang sedang dibahas. Definisi kekongruenan yang spesifik dapat dibentuk untuk grup, gelanggang, semigrup, modul, dan lain-lainnya. Tema yang umum dari definisi kekongruenan adalah suatu relasi ekuivalensi pada objek aljabar yang tetap berlaku pada struktur aljabar yang bersangkutan; dalam artian operasi untuk anggota struktur tersebut terdefinisi dengan baik untuk kelas-kelas ekuivalennya. Sebagai contoh, sebuah grup adalah objek aljabar berisi himpunan yang dilengkapi oleh sebuah operasi biner, yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Untuk sebuah grup dengan operasi , relasi kekongruenan pada adalah relasi ekuivalensi pada elemen-elemen yang memenuhi

untuk setiap , , , . Untuk kekongruenan pada sebuah grup, kelas kesetaraan yang mengandung elemen identitas selalu merupakan subgrup normal, dan kelas-kelas ekuvalen lainnya adalah coset dari subgrup ini. Secara keseluruhan, kelas-kelas kesetaraan ini adalah elemen dari grup hasil bagi.

Jika struktur aljabar memiliki lebih dari satu operasi, relasi kekongruenan perlu berlaku untuk setiap operasi. Sebagai contoh, sebuah gelanggang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga relasi kekongruenan perlu memenuhi

untuk setiap . Untuk kekongruenan pada sebuah gelanggang, kelas kesetaraan yang mengandung unsur 0 selalu merupakan ideal dua sisi; dan dua operasi pada himpunan kelas-kelas kesetaraan, dapat mendefinisikan gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Bentuk umum relasi kekongruenan dapat didefinisikan secara formal dalam konteks aljabar universal, sebuah bidang ilmu yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar. Dalam bidang ini, relasi kekongruenan adalah relasi ekuivalensi pada struktur aljabar yang memenuhi

untuk setiap operasi -ary , dan untuk semua elemen dengan untuk setiap

Contoh umum dari relasi kekongruenan adalah kekongruenan modulo pada himpunan bilangan bulat. Untuk sebuah bilangan bulat positif , dua bilangan bulat dan dikatakan (saling) kongruen modulo , dan dituliskan sebagai

jika habis dibagi oleh (dalam kata lain, jika dan memiliki sisa pembagian yang sama ketika dibagi oleh ).

Sebagai contoh, dan saling kongruen modulo , dan dituliskan sebagai

karena adalah kelipatan dari ; atau secara ekuivalen, karena dan memiliki sisa pembagian ketika dibagi oleh .

sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat masih berlaku dalam kekongruenan modulo (untuk yang tetap). Hal ini mengartikan jika

dan

maka

and

Penjumlahan dan perkalian untuk kelas-kelas kesetaraan ini dikenal sebagai aritmetika modular. Dari sudut pandang aljabar abstrak, kekongruenan modulo adalah relasi kekongruenan pada gelanggang bilangan bulat, dan operasi modulo terjadi pada gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Hubungan dengan homomorfisma

[sunting | sunting sumber]

Jika adalah homomorfisma antara dua struktur aljabar (seperti homomorfisma pada grup, atau sebuah pemetaan linear antar ruang vektor), maka relasi yang didefinisikan sebagai

jika dan hanya jika

adalah relasi kekongruenan. Berdasarkan teorema isomorfisma yang pertama, adalah substruktur dari yang isomorfik kepada hasil bagi dari oleh kekongruenan ini.

Kekongruenan grup, subgrup normal, dan ideal

[sunting | sunting sumber]

Dalam kasus khusus berupa grup, relasi kekongruenan dapat dideskripsikan dalam kondisi-kondisi sederhana berikut. Untuk grup (dengan elemen identitas dan operasi ), relasi biner adalah kekongruenan jika dan hanya jika:

  • Untuk setiap , (reflektif).
  • Untuk setiap , jika maka (simetris).
  • Untuk setiap , jika dan , maka (transitif).
  • Untuk setiap , jika dan , maka .
  • Untuk setiap , jika maka (kondisi ini redundan karena dapat dibuktikan dari empat kondisi lainnya

Tiga kondisi pertama mengatakan bahwa adalah sebuah relasi ekuivalensi. Kekongruenan ditentukan seluruhnya dari himpunan elemen yang kongruen dengan elemen identitas, dan himpunan ini termasuk subgrup normal. Secara khusus, jika dan hanya jika . Hal ini menyebabkan kekongruenan lebih sering merujuk pada subgrup normal dari grup ketimbang pada grup; faktanya, setiap kekongruenan berkorespodensi dengan subgrup normal yang unik.

  1. ^ Hungerford, Thomas W.. Algebra. Springer-Verlag, 1974, p. 27
  2. ^ Hungerford, 1974, p. 26

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  • Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
  • Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.