Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Binnen de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, heten de
-matrices
en
equivalent als er een inverteerbare
-matrix
en een inverteerbare
-matrix
bestaan, zodanig dat
![{\displaystyle B=PAQ}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d0b02353bce0459ac06afb5e9224f25a63a519)
Equivalente matrices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases
en
van
vectoren in
en
en
van
vectoren in
zodanig dat de matrices
en
basistransformaties zijn,
van de overgang van
op ![{\displaystyle v_{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb04c423c2cb809c30cac725befa14ffbf4c85f3)
en
van de overgang van
op ![{\displaystyle w_{2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8998e0957bb573a19e7d9d934ced62ee68ab8fb8)
Daarin zijn
![{\displaystyle K_{v_{1}}:V\to \mathbb {R} ^{n}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342305572bffb641ee58cb63b5ae8c351c137e32)
![{\displaystyle K_{v_{2}}:V\to \mathbb {R} ^{n}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f348b4ea998196e6ef22af28a3814e672ca5b401)
![{\displaystyle K_{w_{1}}:W\to \mathbb {R} ^{m}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958812cc022feb7d61f15121d7cbfd7da0ed799f)
![{\displaystyle K_{w_{2}}:W\to \mathbb {R} ^{m}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a3f55607d07d4677447af22747c3d64f87934f)
de betrokken coördinatiseringen. Dan is
![{\displaystyle B=PAQ=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1},}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905f72ce122a8b7c9cddc4d7d32f5ae315a2b3ce)
dus
![{\displaystyle K_{w_{2}}^{-1}BK_{v_{2}}=K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}={\mathcal {L}}:V\to W}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102afbc34689dab6cb56311d52713868c0e00b21)
een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel
als door
De relatie van equivalentie tussen matrices is inderdaad een equivalentierelatie, want:
- (Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor
en
de geschikte eenheidsmatrices.
- (Symmetrie) Als
equivalent met
is ook
equivalent met
want
en
zijn beide inverteerbaar, dus
![{\displaystyle A=P^{-1}BQ^{-1}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44146f5249ebee0b1a91da3b03c9a0f11a7c6bc9)
- (Transiviteit) Als
equivalent is met
en
equivalent met
geldt:
![{\displaystyle B=PAQ}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d0b02353bce0459ac06afb5e9224f25a63a519)
- en
,
- zodat
![{\displaystyle C=(RP)A(QS)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb6af2eb254f2731ee6a9fa380bb2c4382f9ba6)
- en dus is ook
equivalent met ![{\displaystyle C.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067be67e68f60c53ce83241748d0d6249675c58d)
Equivalente matrices hebben dezelfde rang.