Hopp til innhold

Sobolev-rom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Innen matematikk er Sobolev-rom et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et -rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ikke i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av -normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For , altså der funksjonene og deres deriverte er -funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.

Definisjon

[rediger | rediger kilde]

La for , et ikke-negativt heltall og et tall slik at . Sobolev-rommet består av alle lokalt deriverbare funksjoner slik at for alle multiindekser slik at , eksisterer de (svake) deriverte og tilhører .[1]

Dersom definerer vi den tilhørende normen til å være[2]

der

for en vektor der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og .

Normen over er ekvivalent med normen

for .[3]

Egenskaper

[rediger | rediger kilde]

Lineære egenskaper

[rediger | rediger kilde]

La , og . Da gjelder[4]

  1. dersom og er multiindekser slik at
  2. Hvis er også
  3. Hvis er
  4. Hvis er en åpen delmengde av er
  5. Dersom (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også , og
    (Leibniz' formel).

Kompletthet

[rediger | rediger kilde]

For enhver er Sobolev-rommet komplett, og dermed et Banach-rom.[5]

Utvidelser

[rediger | rediger kilde]

Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom , der utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet , altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i utvidelsesteoremet, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

Utvidelsesteoremet

[rediger | rediger kilde]

Dersom er begrenset og randen er kontinuerlig (i ). Da finnes det en begrenset lineær operator E

slik at for enhver , er

nesten overalt i ,

og

der er en konstant avhengig av og . E kalles for utvidelsen av til .[6]

I flere tilfeller er det interessant å studere randen av , og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i (tillukningen av den åpne mengden ) har den allerede slike verdier; en generell kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

Traseteoremet

[rediger | rediger kilde]

Anta at , og at er begrenset og at randen er kontinuerlig (i ). Da finnes det en begrenset lineær operator

slik at

  1. dersom

og

for alle , der C er en konstant avhengig av og . T kalles for sporet til .[7]

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av , og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i .

Traser med verdi 0

[rediger | rediger kilde]

Anta at er begrenset og at randen er kontinuerlig (i ), samt at . Da er

hvis og bare hvis .[8]

Her betegner mengden av alle funksjoner som er slik at det finnes en følge av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte ( for alle m) som konvergerer til med hensyn på normen .[9]

Sobolev-ulikhetene

[rediger | rediger kilde]

Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom n, p og k sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og -rom.

For kan man definere den Sobolev-konjugerte av p til å være[10]

hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom slik at sier vi at X er kompakt embeddet i Y dersom[11]

  1. for alle , for en konstant , og
  2. for hver begrenset følge i X har denne en konvergent delfølge:
    .

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten

[rediger | rediger kilde]

Anta at . Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at

for alle .

Her betegner rommet av alle kontinuerlige funksjoner med kompakt støtte. Denne ulikheten ble bevist for av Sergei Sobolev, og for både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).[10][12]

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom er slik at nesten overalt i , så er også nesten overalt i . Videre impliserer det også at for alle gjelder ulikheten

der C er en konstant (kun) avhengig av , , og .[13][14]

Morreys ulikhet

[rediger | rediger kilde]

Anta at . Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at

for alle , der angir Hölder-normen med eksponent , og er gitt ved

.

Hvis , så er altså også Hölder-kontinuerlig med eksponent , gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l over en mengde med mål 0.[15]

Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem

[rediger | rediger kilde]

Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av og at randen er kontinuerlig. Anta videre at . Da er en kompakt embeddet i for alle .[11]

Referanser

[rediger | rediger kilde]

Litteratur

[rediger | rediger kilde]
  • Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3. 
  • Juha Kinnunen (2020). «Sobolev spaces» (PDF). Besøkt 13. mai 2020.