Saltar para o conteúdo

Domínio (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
 Nota: Não confundir com Domínio de integridade.
Ilustração mostrando , uma função do domínio rosa para o contradomínio azul . O oval amarelo dentro de é a imagem de . Tanto a imagem quanto o contradomínio são algumas vezes chamados de intervalo de .

Na matemática, e mais especificamente na teoria ingênua dos conjuntos, o domínio de definição (ou simplesmente o domínio) de uma função é o conjunto de valores de "entrada" ou argumento para os quais a função é definida. Ou seja, a função fornece uma "saída" ou valor para cada membro do domínio.[1] Por outro lado, o conjunto de valores que a função assume como saída é denominado imagem da função, o que às vezes também é chamado de intervalo da função.

Por exemplo, o domínio do cosseno é o conjunto de todos os números reais, enquanto o domínio da raiz quadrada consiste apenas em números maiores ou iguais a 0 (ignorando números complexos em ambos os casos).

Se o domínio de uma função é um subconjunto dos números reais e a função é representada em um sistema de coordenadas cartesianas, então o domínio é representado no eixo x.

Gráfico da função de raiz quadrada de valor real, , cujo domínio consiste em todos os números reais não-negativos.

Definição formal

[editar | editar código-fonte]

Dada uma função , o conjunto é o domínio de ; o conjunto é o contradomínio de . Na expressão , é o argumento e é o valor. Pode-se pensar em um argumento como um membro do domínio que é escolhido como uma "entrada" para a função e o valor como a "saída" quando a função é aplicada a esse membro do domínio.

Se tratando de relações entre conjuntos. Seja uma relação de (domínio) em (contradomínio), então:[2][3]

e

A imagem (às vezes chamada de intervalo) de é o conjunto de todos os valores assumidos por para todos os possíveis ; este é o conjunto . A imagem de pode ser o mesmo conjunto que o contradomínio ou pode ser um subconjunto próprio dele. É, em geral, menor que o contradomínio; é o contradomínio inteiro se e somente se é uma função sobrejetiva.

Uma função bem definida deve mapear todos os elementos de seu domínio para um elemento de seu contradomínio. Por exemplo, a função definida por

não tem valor para . Assim, o conjunto de todos os números reais, , não pode ser o seu domínio. Em casos como este, a função é definida em ou o "espaço é ligado" definindo explicitamente . Se estendermos a definição de para

então é definido para todos os números reais, e seu domínio é .

Qualquer função pode ser restrita a um subconjunto de seu domínio. A restrição de a , onde , é escrita como .

Domínio natural

[editar | editar código-fonte]

O domínio natural de uma função é o conjunto máximo de valores para os quais a função é definida, normalmente dentro dos reais, mas às vezes entre os números inteiros ou complexos. Por exemplo, o domínio natural da raiz quadrada é o real não negativo quando considerado como uma função numérica real. Ao considerar um domínio natural, o conjunto de valores possíveis da função é tipicamente chamado de intervalo.[4]

Domínio de uma função parcial

[editar | editar código-fonte]

Há dois significados distintos no uso matemático atual para a noção do domínio de uma função parcial de a , isto é, uma função de um subconjunto de a . A maioria dos matemáticos, incluindo os teóricos de recursão, usam o termo "domínio de " para o conjunto de todos os valores tais que é definida. Mas alguns, particularmente os teóricos de categoria, consideram o domínio como sendo , independentemente de existir para cada em .

Teoria das categorias

[editar | editar código-fonte]

Na teoria das categorias, lida-se com morfismos em vez de funções. Os morfismos são flechas de um objeto para outro. O domínio de qualquer morfismo é o objeto a partir do qual uma seta começa. Nesse contexto, muitas ideias teóricas que estabelecem os domínios devem ser abandonadas ou, pelo menos, formuladas de maneira mais abstrata. Por exemplo, a noção de restringir um morfismo a um subconjunto de seu domínio deve ser modificada.

Análise real e complexa

[editar | editar código-fonte]

Na análise real e complexa, um domínio é um subconjunto aberto de um espaço vetorial real ou complexo.

Em equações diferenciais parciais, um domínio é um subconjunto aberto do espaço euclidiano , onde o problema é colocado, isto é, onde a(s) função(ões) desconhecida(s) é(são) definida(s).

Mais exemplos

[editar | editar código-fonte]
  • Como uma função parcial dos números reais, a função é definida para todos .
  • Se se define a raiz quadrada de um número negativo como o número complexo , com parte imaginária positiva, tal que , a função é definida para todos os números reais .
  • A função é definida para todo

Referências

  1. Paley, Hiram; Weichsel, Paul M. (1966). A First Course in Abstract Algebra. New York: Holt, Rinehart and Winston. p. 16 
  2. Scheinerman, Edward R. (2011). Matemática discreta : uma introdução. São Paulo (SP): Cengage Learning. ISBN 9788522107964. OCLC 817274526 
  3. Velleman, Daniel J.,. How to prove it : a structured approach Second edition ed. Cambridge: [s.n.] ISBN 0521861241. OCLC 62084309 
  4. Rosenbaum, Robert A.; Johnson, G. Philip (1984). Calculus: basic concepts and applications. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 60. ISBN 0-521-25012-9