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Em mecânica clássica as equações de Euler descrevem a rotação de um corpo rígido num sistema de referência com os seus eixos fixos ao corpo e paralelo ao eixos principais do corpo de inércia. Em componentes cartesianas, são eles:
![{\displaystyle J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }+(J_{z}-J_{y})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{x\mathrm {C} }}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0691b63a02767273caf254fe6dc91530ecd7a8d)
![{\displaystyle J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }+(J_{x}-J_{z})\,\omega _{x\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{y\mathrm {C} }}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc651f17fdc9cb413cad1913bd2416e92a4aa6a1)
![{\displaystyle J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }+(J_{y}-J_{x})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{x\mathrm {C} }=M_{z\mathrm {C} }}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8921ba753dc37e31ff9c91eb501a62f33067cda)
onde
são os momentos de inércia,
as acelerações angulares,
as velocidades angulares e
os torques. Todos no sistema de coordenadas do corpo rígido.
Os cálculos que envolvem a aceleração, a aceleração angular, velocidade angular, momento angular, e a energia cinética são muitas vezes mais fáceis quando referenciados nas coordenadas do corpo. Isso porque o tensor momento de inércia
no sistema de coordenadas do corpo não se altera com o tempo. Se o tensor dos momentos de inércia do corpo rígido (com nove componentes, dos quais seis são independentes) for diagonalizado, então obtêm-se um sistema de coordenadas (chamado de eixos principais), no qual o momento de inércia do tensor tem apenas três componentes.[1] O momento ângular no sistema do corpo é
![{\displaystyle \mathbf {L} _{\mathrm {C} }=\mathbf {J} _{\mathrm {C} }\,{\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}J_{x}&0&0\\0&J_{y}&0\\0&0&J_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{x}\,\omega _{x}\\J_{y}\,\omega _{y}\\J_{z}\,\omega _{z}\end{bmatrix}}~.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8855bde4edd8c84b623b8bdee7d18a7dc193389f)
No entanto, o princípio fundamental da dinâmica é definido no sistema inercial:
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\mathrm {I} }}{dt}}=\mathbf {M} _{\mathrm {I} }~,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9471c60ac5b1a36460234dbc520e83e3fb7bd49e)
onde
é o vetor torque. Para princípio fundamental da dinâmica ser resolvido com o sistema de coordenadas do corpo, o vetor do momento de inércia precisa ser transformado pela matriz de rotação
definida pelos ângulos de Euler. Portanto,
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\mathrm {I} }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }\right)={\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }+\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }\,{\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {C} }=\mathbf {M} _{\mathrm {I} }~.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225e5b3bbcef16a33f12ca7aed36466167039f26)
Para se obter o torque no sistema de coordenadas do corpo, multiplica-se os dois lados por
:
![{\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }+{\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {C} }=\mathbf {M} _{\mathrm {C} }~,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7a343a2129cc97fb6844082eb54219b73f2446)
ou
![{\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,{\begin{bmatrix}J_{x}\,\omega _{x\mathrm {C} }\\J_{y}\,\omega _{y\mathrm {C} }\\J_{z}\,\omega _{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }\\J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }\\J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}M_{x\mathrm {C} }\\M_{y\mathrm {C} }\\M_{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}~,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5f2645db3841e3e05f54cd5dfb463c899962ce)
com
![{\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z\mathrm {C} }&\omega _{y\mathrm {C} }\\\omega _{z\mathrm {C} }&0&-\omega _{x\mathrm {C} }\\-\omega _{y\mathrm {C} }&\omega _{x\mathrm {C} }&0\end{bmatrix}}~.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f021f305335cce5cb81bf4b82bc60127fe2512)
Finalmente obtê-se as famosas equações de Euler que descrevem como os componentes do vetor de velocidade angular no sistema de coordenadas do corpo evoluem no tempo,
![{\displaystyle J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }+(J_{z}-J_{y})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{x\mathrm {C} }}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0691b63a02767273caf254fe6dc91530ecd7a8d)
![{\displaystyle J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }+(J_{x}-J_{z})\,\omega _{x\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{y\mathrm {C} }}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc651f17fdc9cb413cad1913bd2416e92a4aa6a1)
![{\displaystyle J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }+(J_{y}-J_{x})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{x\mathrm {C} }=M_{z\mathrm {C} }}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8921ba753dc37e31ff9c91eb501a62f33067cda)
Referências