De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În algebra liniară, conceptele de minor și complement algebric sunt necesare dezvoltării unui determinant cu ajutorul teoremei lui Laplace.
Fie
o matrice de ordinul n.
Prin minorul complementar al elementului
se înțelege determinantul de ordinul n-1 și notat
Complementul algebric al lui
este numărul
Există relațiile:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{kj}=D\delta _{ij},\;\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{jk}=D\delta _{ij},\;\delta _{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j,\\1,&i=j.\end{cases}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83a28b4b8dabbc6403a3c96259079f0f6074c8f)
Pentru
se obține:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{ik}\cdot \alpha _{ki}=D,\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{ik}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb146d10275cf38743dab5362b089cd1e1f1bb33)
(formule de dezvoltare a determinantului după elementele unei linii sau unei coloane)
Fie acum un
Se numește minor de ordinul r în
un determinant
format cu r linii și r coloane din
Se numește minor complementar minorului
de ordin r, minorul
obținut din
prin suprimarea celor r linii și r coloane ale lui
Complementul algebric al minorului
este numărul
fiind suma indicilor liniilor și coloanelor care determină
Pentru determinantul
complementele algebrice ai elementelor acestuia sunt:
![{\displaystyle \alpha _{11}=-5\cdot 4=-20,\;\alpha _{12}=-(-6)\cdot 4=24,\;\alpha _{13}=-6\cdot 7-[2\cdot (-5)]=-32,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ff3d8305de08f5148aca02315be214331dff94)
![{\displaystyle \alpha _{21}=-(3\cdot 4+7\cdot 1)=-21,\;\alpha _{22}=8+2=10,\;\alpha _{23}=-(14-6)=-8,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034f809c2f8e68d1f6ee30e0c6d1145ba38808fe)
![{\displaystyle \alpha _{31}=-5,\;\alpha _{32}=6,\;\alpha _{33}=-2\cdot 5+6\cdot 3=8.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307ee58a3c12b78fde804600b619e24feb2e5c5a)