Pro jádro se používá též název nulový prostor. Značí se (z anglického kernel - „jádro, pecka“ nebo „zrno“, resp. německého das Kern), případně , , apod.
Je-li dána matice typu nad tělesem (např. reálnými či komplexními čísly), potom jádrem matice se nazývá množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. Značí se a formálně je dáno předpisem:
Obecněji, je-li dáno lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory a , potom jádro zobrazení je vektorový podprostor tvořený všemi vektory z takovými, že , kde označuje nulový vektor prostoru . Formálně:
.
Jádro matice se shoduje s jádrem lineárního zobrazení daného předpisem .
Rovnici v oboru reálných čísel lze zapsat jako homogenní soustavu o jedné lineární rovnici a dvou reálných neznámých s maticí soustavy .
Jádrem této matice je
,
neboli množina bodů v s oběma souřadnicemi shodnými. Geometricky tvoří tyto body osu prvního a třetího kvadrantu.
K uvedené matici lze přiřadit zobrazení předpisem . Jádrem zobrazení je množina vzorů nulového vektoru z cílového prostoru (zde čísla , protože uvedená soustava má jen jednu rovnici). Tvoří ji stejná množina bodů (přímka) jako jádro matice :
Lineární zobrazení podle definice zachovává součty a skalární násobky, a proto je jádro je uzavřené na součty a skalární násobky. Jádro zobrazení proto tvoří vektorový podprostor prostoru :
Speciálně, nulový vektor prostoru vždy patří do jádra.
Pokud se obrazy dvou vektorů v lineárním zobrazení shodují, patří jejich rozdíl do jádra :
Totéž v termínech řešení soustav: Jsou-li a dvě řešení soustavy lineárních rovnic , pak je řešením soustavy .
Je-li řešením soustavy a je řešení související homogenní soustavy , pak je také řešením soustavy .
V důsledku lze všechna řešení nehomogenní soustavy popsat pomocí jednoho partikulárního řešení a jádra:
Věta: Je-li jedno pevně zvolené partikulární řešení soustavy lineárních rovnic nad tělesem , pak množina všech řešení této soustavy je afinní podprostor.
Důkaz: Je-li libovolné řešení soustavy , pak , a proto . Naopak pro libovolné je řešením soustavy .
Elementární úpravy nemění množinu řešení soustavy, čili ani jádro matice. Proto je možné danou matici převést do odstupňovaného tvaru a poté zpětnou substitucí popsat množinu řešení neboli jádro.
Stejnou soustavu lze také zapsat rozšířenou maticí soustavy a tu
pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace elementárnímu úpravami převést na redukovaný odstupňovaný tvar:
Elementární úpravy zachovávají množinu řešení soustavy, čili i jádro matice . Přepsáním výsledné matice do rovnic se získá:
Protože je volná proměnná která může nabývat libovolnou hodnotu v oboru reálných čísel, lze řešení vyjádřit stejně dobře jako:
přičemž parametr byl získán substitucí .
Jádro je přesně řešením těchto rovnic (v tomto případě přímka v procházející počátkem a bodem
. Uvedený bod je jednou z možných bází jádra . Nulita matice je tudíž rovna 1.
Bázi jádra pak tvoří ty řádky matice , jimž v matici předcházejí samé nuly.
Korektnost uvedeného postupu vyplývá z toho, že matice reprezentuje úpravy použité během eliminace, a proto platí . každý z těchto vybraných řádků matice má nulový součin se sloupci , čili i s řádky , a proto patří do hledaného jádra .
Protože je regulární, jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Podle věty o hodnosti a nulitě odpovídá jejich počet dimenzi jádra, a proto tvoří jeho bázi.
Pro zadání z předchozí ukázky
odpovídá převod blokové matice na redukovaný odstupňovaný tvar výpočtu:
Pouze poslednímu řádku matice předcházejí v samé nuly.
Tento vektor
tvoří bázi jádra , což lze doložit součiny:
Uvedené součiny též ilustrují skutečnost, že u reálných matic jsou všechny vektory jádra kolmé na všechny vektory z řádkového prostoru dané matice, neboť tyto maticové součiny odpovídají standardnímu skalárnímu součinu na . Konkrétně, jádro odpovídá přímce a řádkový prostor je rovina procházející počátkem, která je kolmá na tuto přímku.
Součet hodnosti matice s její nulitou, neboli rovnost , dává počet sloupců matice , což zároveň ilustruje větu o hodnosti a nulitě.
Pokud jsou koeficienty matice přesně danými čísly, lze odstupňovaný tvar matice vypočítat pomocí Bareissova algoritmu efektivněji než pomocí Gaussovy eliminace. Ještě efektivnější je použít modulární aritmetiku a čínskou větu o zbytcích, která výpočet redukuje na několik podobných úlohu nad konečnými tělesy, čímž se ušetří režie vyvolaná nelinearitou časové složitosti celočíselného násobení.
Pro koeficienty v konečném tělese funguje Gaussova eliminace dobře, ale pro velké matice, které se vyskytují v kryptografii a při výpočtu Gröbnerovy báze, jsou známy algoritmy, které mají sice přibližně stejnou výpočetní složitost, ale efektivnější implementaci.
U matic, jejichž prvky jsou čísla s plovoucí desetinnou čárkou, lze kvůli zaokrouhlovacím chybám téměř vždy předpokládat plnou řádkovou hodnosti, a to i když se jedná o aproximaci matice mnohem menší hodnosti. I pro matici s plnou hodností lze vypočítat hodnověrné jádro, jen je-li dobře podmíněná.
Dokonce i u dobře podmíněné matice plného pořadí se Gaussova eliminace nemusí chovat správně: zavádí zaokrouhlovací chyby, které mohou mít příliš velký vliv na správný výsledek. Protože výpočet jádra matice je speciálním příkladem řešení soustav, lze jádro vypočítat pomocí libovolného z různých algoritmů určených k řešení homogenních soustav lineárních rovnic.