Integruojantis daugiklis – funkcija, iš kurios padauginus diferencialinę lygtį lengviau randamas jos sprendinys.
Duota tokios formos diferencialinė lygtis:
![{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f547fb4f66c5d0ac5204869367a4854edb16251)
Integruojantis daugiklis
, turintis paversti kairiąją lygties pusę pilnąja išvestine, bus lygus
![{\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696eb952cbc141509a4a54113aa175fd57a6b5ad)
Ši išraiška gaunama taip:
Perėjimas tarp antrojo ir trečiojo žingsnio tolygus reikalavimui, kad
. Taigi,
Padauginus iš
gaunama:
![{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80450b2e9875648e8a309278e54baa907772f57a)
Pasinaudojus funkcijų sandaugos išvestinės pagal
taikymo taisykle gaunama:
![{\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa1286e92fa0dc68040f9fe54737b101275fa53)
Pasinaudojant tuo, reiškinys supaprastinamas:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\right)=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6243294fff3a76640c1a375f1272929583c441)
Toliau abi pusės suintegruojamos pagal
,
pervadinamas į
. Gaunama:
![{\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6858598d8ca8adb36a518ab4372620ce3b2bfb)
Perkėlus eksponentę į dešinę pusę surandamas diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:
![{\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c424439dec8b0b393d7b6f1b458f0a6d6a7df9)
Jei
(homogeninė diferencialinė lygtis), randama
![{\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44832a03408ad0169dd279178878331edced8378)
Čia
yra konstanta.
Duota tokios formos diferencialinė lygtis:
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2519160bb1d703086ff92b5e917deb44c4d13681)
Matoma, kad
![{\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(s)\,ds}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f92d44e9c9d46c2d949b499406fabe94249dc6)
![{\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{s}}\,ds}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11355337b1ba03d1aab5810a1f5992021cb18713)
![{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f241a0a2a0468d8442b40f28d40101a926bc64)
Padauginus abi lygties puses iš
gaunama
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
![{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7a67d6c2b5967f353f3b63d4733add62063972)
![{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f44a7c2e0dd856780ae9474801b318072fd7bdf)
![{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f3a31e4ebf57eecb7330af28f33ce0ddb1855e)
Pasinaudojus funkcijų santykio išvestinės taisykle gaunama:
![{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316)
arba
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1478080566ed706f9fa0100b7eba498a9412d9)
o iš čia gaunama
![{\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e593b84a6dc4b51244e02cdbcc3ac7b97903f571)
Duota tokios formos diferencialinė lygtis:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82a4a72314fc7307a6d6d2e2c34e581a096725f)
Panaudojus
kaip integruojantį daugiklį, gaunama:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d35c132ba56403e6f0f16071281c30777350a38)
Dabar galima abi puses perrašyti tokiu būdu:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e567802715be80fe933eb215ecdc41176f7be20)
Taigi,
![{\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bcc0625be16f7ef42561b0a700639cd8bdb7c6)
Pritaikius kintamųjų atskyrimo metodą, randama
![{\displaystyle \int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c8d23b4b54973f372d9799323cbed7e1755507)