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Fator integrante

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Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem

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Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

onde é a incógnita e depende da variável , e e são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por , obtém-se:

Supomos que possa ser escrita na seguinte forma:

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

onde é constante. Resolvendo para , temos:

Para encontrar a função , basta observar que, pela regra do produto:

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

O que implica:

que é chamado de fator integrante ou fator de integração, pois é um fator de uma multiplicação obtido através de uma integração.

Considere a seguinte equação diferencial:

Multiplicando a equação pelo fator integrante , temos:

ou, reagrupando os termos:

o que é equivalente a:

ou, resolvendo para y:

 Transformação de uma EDO em Equação Exata

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Ver artigo principal: Equação diferencial exata

Considere uma equação diferencial da forma

Um fator integrante pode ser utilizado para transformá-la em uma Equação Diferencial Exata e assim resolvê-la.

Para isso, tomaremos um fator integrante e multiplicaremos toda a equação que queremos resolver por esse fator integrante, obtendo assim:

Para que essa equação seja exata, precisamos que

[1]

Ou seja, como e são funções dadas pela equação que se deseja resolver, precisamos encontrar uma função que satisfaça a igualdade acima.

Para isso expandiremos ambos os lados da igualdade utilizando a derivação do produto.

Por fim isso pode ser escrito como uma equação diferencial parcial:

Porém a resolução dessa equação diferencial para obtenção do fator integrante é, muitas vezes, mais exaustiva do que a equação original. Então um artifício útil de ser feito é supor o fator integrante como uma função de apenas uma das variáveis, ou seja, supor um fator integrante sob a forma ou , sendo que essa escolha deve ser feita conforme a equação a ser resolvida.

Também, para simplificar a notação, utilizaremos e .

Assim, tomando como uma função exclusivamente de , teremos:

Ou seja, para obter uma a função precisamos resolver a equação diferencial

Observe que dessa expressão obtemos que, para que seja uma função de é necessário que seja também uma função de .

Se isso ocorrer essa equação é uma equação diferencial separável e pode ser resolvida integrando, obtendo assim:

.

Analogamente poderíamos obter uma expressão para um fator integrante dependendo apenas de .

Então, se multiplicarmos por um fator integrante dessa forma, tornaremos uma equação diferencial ordinária não exata em uma equação diferencial exata, restando assim apenas resolver a equação conforme o método de resolução de equações exatas. 

Referências

  1. Boyce, William (2013). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro: LTC