Jump to content

Faktori integrues

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

matematikë, një faktor integrues është një funksion që zgjidhet për të lehtësuar zgjidhjen e një ekuacioni të caktuar që përfshin diferenciale . Përdoret zakonisht për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (EDZ), por përdoret gjithashtu brenda llogaritjeve me shumë ndryshore kur shumëzimi me një faktor integrues lejon që një diferencial i pasaktë të shndërrohet në një diferencial të saktë (i cili më pas mund të integrohet për të dhënë një fushë skalare ). Kjo është veçanërisht e dobishme në termodinamikë ku temperatura bëhet faktori integrues që e bën entropinë një diferencial të saktë.

Një faktor integrues është çdo shprehje me të cilën shumëzohet një ekuacion diferencial për të lehtësuar integrimin. Për shembull, ekuacioni jolinear i rendit të dytë

ka për faktor integrues  :

Për t'u integruar, vini re se të dyja anët e ekuacionit mund të shprehen si derivate duke shkuar mbrapa me rregullin zinxhir :

Atëherë,

ku është një konstante.

Kjo trajtë mund të jetë më e dobishme, në varësi të zbatimit. Kryerja e një ndarje të ndryshoreve do të japë

Kjo është një zgjidhje e nënkuptuar që përfshin një integral jo-elementar . E njëjta metodë përdoret për të zgjidhur ekuacionin e periodës së një lavjerrësi të thjeshtë.

Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të parë

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Faktorët integrues janë të dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme që mund të shprehen në trajtën

Ideja themelore është të gjesh një funksion, le të themi , i quajtur "faktori integrues", të cilin ne mund ta shumëzojmë në të dyja anët ekuacionit tonë diferencial në mënyrë që të sjellim anën e majtë nën një derivat të përbashkët. Për ekuacionin diferencial linear kanonik të rendit të parë të paraqitur më sipër, faktori integrues është .

Le të jetë faktori integrues i një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë i tillë që shumëzimi me të transformojë një derivat të pjesshëm në një derivat të plotë, atëherë:

Kalimi nga hapi 2 në hapin 3 e kërkon që , i cili është një ekuacion diferencial i ndashëm, zgjidhja e të cilit jep ne kushtet e  :

Për të verifikuar, duke shumëzuar me jep

Duke zbatuar rregullin e produktit në të kundërt, shohim se ana e majtë mund të shprehet si një derivat i vetëm në

Ne e përdorim këtë fakt për të thjeshtuar shprehjen tonë

Integrimi i të dyja anëve sipas jep

ku është një konstante.

Duke kaluar eksponencialin në anën e djathtë, zgjidhja e përgjithshme për ekuacionin diferencial të zakonshëm është:

Në rastin e një ekuacioni diferencial homogjen, dhe zgjidhja e përgjithshme për EDZnë është:

.

për shembull, konsideroni ekuacionin diferencial

Këtë mund ta shohim se në këtë rast

Duke shumëzuar të dyja anët me marrim

Ekuacioni i mësipërm mund të rishkruhet si

Duke integruar të dyja anët në lidhje me , ne marrim

ose

I njëjti rezultat mund të arrihet duke përdorur metodën e mëposhtme

Kthimi i rregullës së herësit jep

ose

ose

ku është një konstante.

Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të dytë

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Metoda e faktorëve të integrimit për ekuacionet e rendit të parë mund të shtrihet natyrshëm edhe tek ekuacionet e rendit të dytë. Qëllimi kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të parë ishte gjetja e një faktori integrues të tillë që duke u shumëzuar nga ajo do të merrej , pas së cilës integrimi dhe pjesëtimi pasuese me do të jepte . Për ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë, nëse duam të funksionojë si një faktor integrues, atëherë

Kjo nënkupton që një ekuacion i rendit të dytë duhet të jetë saktësisht në formë që faktori integrues të jetë i përdorshëm.

Për shembull, ekuacioni diferencial

mund të zgjidhet pikërisht me faktorë integrues. Funksioni i përshtatshëm mund të konkludohet duke shqyrtuar kufizën . Në këtë rast, , kështu që . Pas ekzaminimit të kufizës , ne shohim se ne në fakt kemi , kështu që ne do t'i shumëzojmë të gjitha kufizat me faktorin integrues . Kjo na jep

të cilat mund të riorganizohen për të dhënë

Integrimi dy herë jep

Pjestimi me faktorin integrues jep:

Një zbatim pak më pak i dukshëm i faktorëve integrues të rendit të dytë përfshin ekuacionin diferencial të mëposhtëm:

Në pamje të parë, duket qartë se kjo nuk është në formën e nevojshme për faktorët integrues të rendit të dytë. Ne kemi një kufizë përpara por jo para . Megjithatë,

dhe nga identiteti pitagorian që lidhet me dhe ,

kështu që ne në fakt kemi kufizën e kërkuar para dhe mund të përdorim faktorin integrues.

Duke shumëzuar çdo kufizë me jep

e cila është riorganizuar si

Integrimi dy herë jep

Së fundmi, pjesëtimi me faktorin integrues jep